一、ABAQUS 及多體動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算介紹

ABAQUS軟件是一套功能強(qiáng)大的模擬工程的有限元軟件，其解決問題的范圍從相對(duì)簡(jiǎn)單的線性分析到許多復(fù)雜的非線性問題。作為通用的模擬計(jì)算工具，ABAQUS能解決結(jié)構(gòu)（應(yīng)力/位移）的許多問題。它可以模擬各種領(lǐng)域的問題，例如熱傳導(dǎo)、質(zhì)量擴(kuò)散、電子部件的熱控制（熱電耦合分析）、聲學(xué)分析、巖土力學(xué)分析（流體滲透/應(yīng)力耦合分析）及壓電介質(zhì)力學(xué)分析[1]。多體系統(tǒng)由“多體動(dòng)力學(xué)”引申而來，一般泛指包括機(jī)械構(gòu)造、結(jié)構(gòu)材料和控制（軟、硬）元件的整體系統(tǒng)。多體系統(tǒng)仿真則是以電腦輔助的方法對(duì)多體系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字化模擬的技術(shù)。多體系統(tǒng)仿真所面臨的挑戰(zhàn)大致可分為 5 類：大型模型的運(yùn)算、滑動(dòng)和碰撞接觸、運(yùn)動(dòng)中的柔性體、控制-機(jī)構(gòu)集成，以及系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化。由于 ABAQUS 側(cè)重于結(jié)構(gòu)有限元計(jì)算，故其本身多體仿真功能遠(yuǎn)不如專業(yè)多體動(dòng)力學(xué)軟件強(qiáng)大。但經(jīng)過多年的發(fā)展，ABAQUS軟件與多體動(dòng)力學(xué)仿真軟件的接口越來越完善。作為聯(lián)合多體動(dòng)力學(xué)軟件做剛?cè)狁詈隙囿w仿真的有限元軟件，ABAQUS軟件在該領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用。

二、剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)介紹

多體系統(tǒng)可以由剛體和柔性體（也說成是彈性體）組成，通過和全局參考框架之間的鉸接和力元等元素混合建模。論文中使用ABAQUS和SIMPACK軟件進(jìn)行剛?cè)峄旌象w的動(dòng)力學(xué)建模和仿真[2]。多體仿真主要目的有兩點(diǎn)，一是在設(shè)計(jì)階段評(píng)定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)指標(biāo)是否達(dá)到要求；二是考察系統(tǒng)內(nèi)部各部件之間的載荷工況和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。利用 ABAQUS 建立的部件柔性體模型代入SIMPACK 中進(jìn)行剛?cè)狁詈隙囿w仿真計(jì)算，不但能提供更準(zhǔn)確的模型用于多體仿真計(jì)算，而且多體仿真結(jié)果之一的部件工況也能更準(zhǔn)確的描述有限元模型的邊界條件和力載荷，使有限元計(jì)算結(jié)果更合理、可信度更高。在多體軟件中無法直接使用有限元分析結(jié)果，須要對(duì)模型進(jìn)行縮減處理。目前典型的有靜態(tài)縮減、GUYAN 縮減、RITZ 函數(shù)縮減、動(dòng)態(tài)縮減（子模態(tài)合成技術(shù)）。在 ABAQUS軟件中，主要利用 GUYAN 縮減方法進(jìn)行彈性體結(jié)構(gòu)縮減。結(jié)構(gòu)模型縮減的效果如何及其準(zhǔn)確度很大程度上依賴于對(duì)結(jié)構(gòu)主自由度的合理選擇。使用這種方法可以使得結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣在結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型計(jì)算時(shí)縮減到每個(gè)主自由度上，使參與多體計(jì)算的柔性性模型自由度大幅度減少，大大提高聯(lián)合計(jì)算效率。 

2.1 ABAQUS 子結(jié)構(gòu)算法

 ABAQUS 子結(jié)構(gòu)的所有自由度可以分為內(nèi)部和外部自由度，外部自由度附著在多體系統(tǒng)的鉸接、彈簧和阻尼上。這些自由度對(duì)多體仿真是十分重要的，作為主自由度不能在縮減過程中刪除，而剩余的其它自由度稱為內(nèi)部自由度是可以進(jìn)行縮減的。內(nèi)部自由度既可以表示為和外部自由度之間的靜態(tài)關(guān)系，也可以表示為一系列廣義自由度之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。這些廣義的自由度通過研究子結(jié)構(gòu)的特征模態(tài)獲得。特征模態(tài)主要根據(jù)研究對(duì)象的重點(diǎn)進(jìn)行有效的選擇。

子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為：

其中 X 是位移矢量，M 是質(zhì)量矩陣，C 是阻尼矩陣，K 是剛度矩陣以及 F 是載荷矢量。各個(gè)矩陣通過下標(biāo) i（表示內(nèi)部）和 e（表示外部）自由度，以及自由度之間關(guān)系等。如果只考慮靜態(tài)，式（1）可以簡(jiǎn)化為剛度、位移和載荷的方程，通過求解，可以獲得

前者表示內(nèi)部位移和載荷的關(guān)系，后者表示外在位移函數(shù)的內(nèi)部位移。矩陣 B 表述內(nèi)部位移和外在位移的關(guān)系。研究中主要關(guān)心結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)相應(yīng)的內(nèi)部自由度。設(shè)定外在位移為零，以及內(nèi)部位移的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)單諧運(yùn)動(dòng)，即

其中Φ是特征矢量，通過對(duì)時(shí)間求微分，方程（2）可以改寫為

其中ω是角頻率。通過設(shè)定輸入載荷 Fii=0，且忽略阻尼矩陣，可以求出正則模態(tài)。（4）可以簡(jiǎn)化為：

內(nèi)部位移可以通過相應(yīng)自由度的特征模態(tài)表示。設(shè)子結(jié)構(gòu)中 n 為 p 個(gè)外在自由度的激活自由度，縮減系統(tǒng)的位移可以表示為外在自由度和廣義自由度 y，即

 （7）式中的特征矢量矩陣有維數(shù) s(n-p)縮減系統(tǒng)的位移可以表示為外在自由度和新的廣義自由度 y 之間的公式 將

（8）式以及其一階和二階時(shí)間微分，分別代入（1）式中，且在前面乘上 HT，可以得到 

從上述的一系列公式，可以說明 ABAQUS 子結(jié)構(gòu)縮減暨 GUYAN 縮減算法的基本過程，即用一些縮減的節(jié)點(diǎn)和單元來準(zhǔn)確的描述整體結(jié)構(gòu)。這些節(jié)點(diǎn)和單元分別稱為超節(jié)點(diǎn)（Super Node）和超單元（Super Element）。如果希望得到一個(gè)更為合理的節(jié)點(diǎn)分布，目前的 ABAQUS 版只能手工添加自己關(guān)心的節(jié)點(diǎn)。 

2.2 ABAQUS與SIMPACK接口簡(jiǎn)介

利用 SIMPACK 和 ABAQUS 之間的接口程序可以生成多體仿真時(shí)所需要的柔性體模型文件。首先導(dǎo)入利用有限元軟件 ABAQUS 子結(jié)構(gòu)分析生成的結(jié)果文件，然后再在多體軟件的接口程序中創(chuàng)建*.fbi 柔性體文件。這樣就可以在 SIMPACK 軟件中將多體系統(tǒng)剛性模型替換為柔性結(jié)構(gòu)模型。在替換過程中同時(shí)要將原來與結(jié)構(gòu)連接的 Marker 點(diǎn)用柔性體的 Marker 點(diǎn)全部替換過啦，這樣就可以進(jìn)行剛?cè)狁詈隙囿w仿真計(jì)算。圖 1 表示了有限元分析軟件 ABAQUS 和多體系統(tǒng)軟件 SIMPACK之間的彈性體數(shù)據(jù)傳輸?shù)幕玖鞒獭Ｗⅲ篎EMBS 是 SIMPACK 柔性體前處理內(nèi)部程序。

 圖1ABAQUS 聯(lián)合多體軟件生成柔性體的基本過程

三、剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)仿真示例

本文以三體耦合物理擺系統(tǒng)為對(duì)象（后簡(jiǎn)稱三擺系統(tǒng)），比較多剛體系統(tǒng)建模和剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)建模兩者間仿真結(jié)果的差異，驗(yàn)證剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)仿真技術(shù)的必要性。三擺系統(tǒng)如圖 2 所示，系統(tǒng)包括三個(gè)相同的質(zhì)量體，質(zhì)量體 3 與線彈簧連接，研究各部分的載荷工況與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。質(zhì)量體包括橡膠材質(zhì)的桿和金屬材質(zhì)的球兩部分組成。本文建立兩種動(dòng)力學(xué)模型，一種是全為剛體組成，如圖 3 所示；另一種是質(zhì)量體 2 為柔性體，質(zhì)量體 1 和 3 為剛體，聯(lián)合組成剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)模型，如圖 4 所示。

 圖2三擺系統(tǒng)模型（帶線彈簧） 圖3三擺系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)模型 

圖4剛?cè)狁詈先龜[系統(tǒng)圖 圖5質(zhì)量體有限元模型

質(zhì)量體的有限元模型如圖 5 所示，共計(jì) 19088 個(gè)實(shí)體單元，共計(jì) 114528 個(gè)自由度。以動(dòng)力學(xué)計(jì)算目的而言，如此規(guī)模網(wǎng)格模型直接代入 SIMPACK 對(duì)求解器是一種負(fù)擔(dān)，同時(shí)目前軟件版本也無法實(shí)現(xiàn)，因此需要將整體有限元模型縮減，這個(gè)過程稱為有限元單元模型縮減，原理部分如本文 2.1 節(jié)所述，而在 ABAQUS 中是用子結(jié)構(gòu)創(chuàng)建來描述整個(gè)縮減過程。通過單元縮減，該模型的子結(jié)構(gòu)就為 5 個(gè)節(jié)點(diǎn)組成，共 15 個(gè)自由度，如圖 6 所示。另外在 ABAQUS軟件中，通過運(yùn)動(dòng)耦合算法使整個(gè)有限元模型振動(dòng)模態(tài)用這 5 個(gè)節(jié)點(diǎn)描述即可，從而生成只有 15 個(gè)自由度的子結(jié)構(gòu)用于多體動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算。該子結(jié)構(gòu)在 ABAQUS 老版本中也稱為超單元。圖 7 為加入柔性質(zhì)量體2 后的示意。

 圖6質(zhì)量體有限元縮減模型     圖7將柔性質(zhì)量體2加入三擺系統(tǒng)示意

四、柔性仿真結(jié)果和剛體仿真結(jié)果比較

 圖8三擺系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)比較（左多剛體，右剛?cè)狁詈希?/p>

初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，圖8為多剛體系統(tǒng)和剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)同一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以看出兩者間有明顯差異。圖9～圖11為多剛體和剛?cè)狁詈系娜龜[系統(tǒng)的部分仿真結(jié)果，包括：質(zhì)量體2的垂向鉸接力、質(zhì)量體2相對(duì)質(zhì)量體 1 的角位移、線彈簧載荷三方面。 

4.1 鉸接力

圖9為質(zhì)量體2的鉸接力時(shí)間0～5s的時(shí)間歷程。表1為兩種多仿真結(jié)果的統(tǒng)計(jì)對(duì)比。多剛體系統(tǒng)的鉸接力無論從均值還是幅值上都明顯大于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，而剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)鉸接力的頻率成份更為復(fù)雜。 

圖9質(zhì)量體2鉸接力歷程

表1仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)對(duì)比（質(zhì)量體2）  

4.2 相對(duì)位移

 圖10為質(zhì)量體2相對(duì)質(zhì)量體1質(zhì)心相對(duì)角位移0～5s 的時(shí)間歷程。表2為兩種多仿真結(jié)果的統(tǒng)計(jì)對(duì)比。多剛體系統(tǒng)的相對(duì)位移無論從均值還是幅值上都明顯大于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)。 

圖10質(zhì)量體2相對(duì)質(zhì)量體1角位移歷程

表 2 仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)對(duì)比（相對(duì)角位移）  

4.3 線彈簧載荷

 圖11為三擺系統(tǒng)線彈簧載荷0～5s的時(shí)間歷程。表3為兩種多仿真結(jié)果的統(tǒng)計(jì)對(duì)比。多剛體系統(tǒng)的線彈簧載荷無論從均值還是幅值上都大于剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)。同時(shí)也可見，不同模擬方法之下的力載荷間的差異要比鉸接力和相對(duì)位移要輕微。 

圖11三擺系統(tǒng)線彈簧載荷歷程

表3仿真結(jié)果統(tǒng)計(jì)對(duì)比

綜上所述，多剛體仿真結(jié)果無論載荷工況還是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都要比剛?cè)狁詈系膭×?。這里簡(jiǎn)單從能量角度說明其結(jié)果的差異：系統(tǒng)的機(jī)械能總是恒定的（忽略熱損耗），為勢(shì)能和動(dòng)能之和，且相互動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)化。多剛體系統(tǒng)勢(shì)能只有位能，而剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的勢(shì)能除了位能外，還有柔性體的變形能。因此在同一時(shí)刻，柔性體獲得的動(dòng)能要小于多剛體。因此柔性體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就不如剛體劇烈，其慣性力作用也就不如剛性體明顯。故當(dāng)系統(tǒng)中某個(gè)部件的結(jié)構(gòu)剛度較小時(shí)，就應(yīng)該考慮利用柔性體取代常規(guī)剛體模擬該部件。這樣能大大減小計(jì)算誤差，同時(shí)其計(jì)算結(jié)果如動(dòng)態(tài)評(píng)定指標(biāo)、載荷工況及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等都更接近實(shí)際，精度更高。

結(jié) 論

隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的發(fā)展，ABAQUS軟件應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大。在多體動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算中，加入ABAQUS 柔性體，使模型更接近真實(shí)；而同時(shí)通過剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)仿真分析，能夠得到部件上更準(zhǔn)確、更充分的載荷條件，為結(jié)構(gòu)有限元仿真分析又提供更合理的邊界條件與載荷工況，對(duì)提高有限元分析精度也大有益處。

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